质数是什么？如何快速判断一个数是不是质数
质数（素数）是只能被 1 和自身整除的大于 1 的自然数。本文讲清判断方法与质因数分解，并给出在线工具。
核心要点
- 质数是大于 1 且只有 1 和自身两个正因数的自然数；2 是唯一的偶质数，1 既不是质数也不是合数。
- 试除法判断质数只需试除到 √n 即可，因为若 n 存在大于 √n 的因数，必然同时存在小于 √n 的因数。
- 质因数分解把合数拆成质数连乘（如 360 = 2³ × 3² × 5），是求最大公约数、最小公倍数与欧拉函数的基础。
质数（也叫素数）指大于 1 且只有 1 和它本身两个正因数的自然数，如 2、3、5、7、11。2 是唯一的偶质数；1 既不是质数也不是合数。
怎么判断
小数字用试除法：依次用 2、3、5… 试除，只需试到 √n 即可——若 n 有大于 √n 的因数，必然还有一个小于 √n 的因数。例如判断 97 是否为质数，试除 2、3、5、7（√97 ≈ 9.8）都不整除，即可判定为质数。质数判断与素数判定可即时给出结论。
质因数分解
把一个合数拆成若干个质数相乘，就是质因数分解，例如 360 = 2³ × 3² × 5。它在约分、求最大公约数与最小公倍数时都要用到，可用质因数分解完成，最大公约数/最小公倍数可直接算结果。
常见用途
- RSA 等公钥加密依赖「大数分解很难」；
- 哈希表取模时用质数可减少冲突；
- 数论中的欧拉函数 φ(n)、模运算都建立在质因数分解上（欧拉函数）。
需要连续查看时，质数表、第 N 个质数与下一个质数可配合使用。
常见问题
1 是质数吗？
不是。质数要求有两个正因数（1 和自身），而 1 只有 1 个正因数，因此既不是质数也不是合数。
判断一个大数是不是质数要试除到多少？
只需试除到该数的平方根即可。若它存在大于平方根的因数，就必然同时存在一个小于平方根的因数。更大的数可用 Miller–Rabin 等概率素性测试。
质数有什么用？
RSA 等公钥加密的安全性建立在「大整数分解困难」之上；哈希表取模用质数可减少冲突；约分、求最大公约数与欧拉函数都需要质因数分解。
100 以内有多少个质数？
共 25 个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
最后更新：2026-09-19