排列组合怎么算？阶乘、组合数与卡特兰数入门
从 10 人里选 3 个和排出前 3 名是两回事。本文讲清阶乘、排列 P(n,k) 与组合 C(n,k) 的区别，以及卡特兰数、贝尔数的用途。
核心要点
- 阶乘 n! 是 n 个不同元素全排列的方案数；排列 P(n,k) = n!/(n−k)! 要排序，组合 C(n,k) = n!/[k!(n−k)!] 只取不排。
- 判断用哪个只需问一句：交换两个选中元素的顺序，算不算不同结果——算则排列，不算则组合。
- 组合数满足对称性 C(n,k) = C(n,n−k) 与杨辉三角递推 C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k)，后者也是二项式展开系数。
「从 10 个人里选 3 个」与「给 10 个人排前 3 名」是两件不同的事：前者不关心顺序，后者关心。这个区别就是组合与排列，也是概率、分组与密码学等一系列问题的起点。
阶乘与两个基本公式
阶乘 n! = 1×2×…×n，表示「n 个不同元素全部排成一列」的方案数（阶乘）。在此基础上：排列 P(n,k) = n!/(n−k)! 表示从 n 个里取 k 个并排序；组合 C(n,k) = n!/[k!(n−k)!] 表示只取不排。二者满足 P(n,k) = C(n,k) × k!。排列组合可同时算出结果，排列数与组合数为单项工具。
怎么快速判断用哪个
问自己一句：交换两个选中元素的顺序，算不算不同结果？算，用排列；不算，用组合。选班长（排列）与选班委（组合）、排队照相（排列）与抽奖（组合）都是典型对照。
组合数的两个常见性质
- 对称性：C(n,k) = C(n,n−k)，选中 k 个等价于没选中 n−k 个；
- 杨辉三角递推：C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k)，也是二项式 (a+b)ⁿ 的展开系数（二项式系数行）。
更高级的计数
卡特兰数 Cₙ = C(2n,n)/(n+1) 计数括号匹配、二叉树形态等；贝尔数计数「把 n 个不同元素划分成若干组」的全部方案；第二类斯特林数则限定分成恰好 k 个非空组。卡特兰数、贝尔数与第二类斯特林数可直接查询。
提示：n 稍大时 n! 增长极快（20! 已超过 2×10¹⁸），手算容易溢出；涉及取模的场景应改用递推或快速幂，而不是先求阶乘再相除。
常见问题
组合和排列最本质的区别是什么？
是否考虑顺序。排列 P(n,k) 把选出的 k 个元素的不同顺序视为不同方案，组合 C(n,k) 则只关心选了哪些。二者关系是 P(n,k) = C(n,k) × k!。
0 的阶乘为什么等于 1？
这是为了让组合数公式在边界情形下依然成立。0! 等于 1 表示把 0 个元素排成一列只有一种方式，即什么都不做；若规定为 0，则 C(n,0) 与 C(n,n) 都会失去意义。
彩票中奖概率怎么用组合算？
以从 33 个号码中选 6 个为例，总组合数为 C(33,6) = 1,107,568，因此单注中头奖的概率约为 110 万分之一。组合数越大，中奖概率越低。
卡特兰数用在什么地方？
它计数的是具有不越界性质的组合结构，例如 n 对括号的合法匹配方式、n 个节点的二叉搜索树形态数、进出栈的合法序列数。公式为 Cₙ = C(2n,n)/(n+1)。
最后更新：2026-09-19